1. 傅里叶变换的应用领域
傅里叶级数
展开的实际意义：
傅立叶变换
是数字信号处理领域一种很重要的算法。要知道傅立叶变换算法的意义，首先要了解傅立叶原理的意义。
傅立叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。而根据该原理创立的傅立叶变换算法利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅
和相位。
和傅立叶变换算法对应的是反傅立叶变换算法。该反变换从本质上说也是一种累加处理，这样就可以将单独改变的正弦波信号转换成一个信号。因此，可以说，傅立叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号（信号的频谱），可以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工。最后还可以利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。
从现代数学的眼光来看，傅里叶变换是一种特殊的积分变换。它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。
在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。在数学领域，尽管最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。"任意"的函数通过一定的分解，都能够表示为正弦函数
的线性组合的形式，而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类：
1) 傅立叶变换是线性算子,若赋予适当的范数
,它还是酉算子;
2) 傅立叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似;
3) 正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段;
4) 离散形式的傅立叶的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取;5. 著名的卷积定理指出:傅立叶变换可以化复变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅立叶变换算法(FFT))。正是由于上述的良好性质,傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。
2. 傅里叶变换用在什么地方
傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。 傅里叶变换在物理学、电子类学科、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量）。 转的呵呵
3. 傅里叶变换的用处
傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。 傅里叶变换在物理学、电子类学科、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量）。转的呵呵
4. 傅里叶变换的典型应用
傅里叶光学其应用领域包括空间滤波、光学信息处理、光学系统质量的评估、全息术以及傅里叶光谱学的研究等。
傅立叶光学（傅里叶光学）是现代光学的一个分支，将电信理论中使用的傅里叶分析方法移植到光学领域而形成的新学科。在电信理论中，要研究线性网络怎样收集和传输电信号，一般采用线性理论和傅里叶频谱分析方法。在光学领域里，光学系统是一个线性系统，也可采用线性理论和傅里叶变换理论，研究光怎样在光学系统中的传播。两者的区别在于，电信理论处理的是电信号，是时间的一维函数，频率是时间频率，只涉及时间的一维函数的傅里叶变换；在光学领域，处理的是光信号，它是空间的三维函数，不同方向传播的光用空间频率来表征，需用空间的三维函数的傅里叶变换。
5. 傅里叶变换的适用范围
傅里叶变换的作用就是把非正余弦 周期(请注意必须是周期函数)函数转化为无限个规则的正弦余弦函数。变成规则的函数以后，虽然有无限项，但是工程取前几项精度就够用了。
规则函数利于计算。把难以计算甚至无法计算的函数转化为可以计算的函数。
6. 傅里叶变换的具体应用
前言
前面转载过一篇关于傅里叶变换原理的文章《一篇难得的关于傅里叶分析的好文》。那篇文章写得非常棒，浅显易懂，可以说稍有基础的人都能看懂那篇博文。但是那篇博文更多的是从信号处理的角度以及原理的角度讲述傅里叶变换。那么在数字图像处理中，傅里叶变换之后得到的频谱图又有怎样的运用呢？这篇博客就是为了简单讲讲傅里叶变换在数字图像处理中的意义和基本应用，如有错误请各位指出。
数字图像的傅里叶变换
通过前面的博文已经知道傅里叶变换是得到信号在频域的分布，数字图像也是一种信号，对它进行傅里叶变换得到的也是它的频谱数据。对于数字图像这种离散的信号，频率大小表示信号变化的剧烈程度或者说是信号变化的快慢。频率越大，变化越剧烈，频率越小，信号越平缓，对应到图像中，高频信号往往是图像中的边缘信号和噪声信号，而低频信号包含图像变化频繁的图像轮廓及背景等信号。
需要说明的是，傅里叶变换得到的频谱图上的点与原图像上的点之间不存在一一对应的关系。
频域数据的应用1. 图像去噪
根据上面说到的关系，我们可以根据需要获得在频域对图像进行处理，比如在需要除去图像中的噪声时，我们可以设计一个低通滤波器，去掉图像中的高频噪声，但是往往也会抑制图像的边缘信号，这就是造成图像模糊的原因。以均值滤波为例，用均值模板与图像做卷积，大家都知道，在空间域做卷积，相当于在频域做乘积，而均值模板在频域是没有高频信号的，只有一个常量的分量，所以均值模板是对图像局部做低通滤波。除此之外，常见的高斯滤波也是一种低通滤波器，因为高斯函数经过傅里叶变换后，在频域的分布依然服从高斯分布，如下图所示。所以它对高频信号有很好的滤除效果。
高斯函数在频域的分布图像
2. 图像增强及锐化
图像增强需要增强图像的细节，而图像的细节往往就是图像中高频的部分，所以增强图像中的高频信号能够达到图像增强的目的。
同样的图像锐化的目的是使模糊的图像变得更加清晰，其主要方式是增强图像的边缘部分，其实就是增强图像中灰度变化剧烈的部分，所以通过增强图像中的高频信号能够增强图像边缘，从而达到图像锐化的目的。从这里可以看出，可以通过提取图像中的高频信号来得到图像的边缘和纹理信息。
3. 其他基于频谱和相位谱的操作等
下面我们通过代码来看一下是否真如我们想想的一样。
代码运行结果
如果在图像中加入噪声，结果会如何呢？
结果分析
从上面的结果可以看出，低通滤波会让图像变得模糊，可以对图像进行模糊处理，滤除图像的噪声，高通滤波获得了图像的边缘和纹理信息。此外，通过增强图像的高频信号，可以增强图像的对比度，因为图像中的高频信号主要是出现在边缘及噪声这样的灰度出现跃变处的区域。
从频谱图上可以看出，当将频谱移频到原点以后，图像中心比较亮。在频谱图中，一个点的亮暗主要与包含这个频率的数目有关，也就是说在空间域中包含这种频率的点越多，频谱图中对应的频率的位置越亮。而经过频移后，频率为0的部分，也就是傅里叶变换所得到的常量分量在图像中心，由内往外扩散，点所代表的频率越来越高。可以从上面的结果中看出，只取核心的小范围内的低频信号再将其转换回到时域空间，已经能够在一定程度是看到图像的基本轮廓信息，这说明了图像中的“能量”主要集中在低频部分。
实际上，为了方便理解，可以把图像的二维傅里叶变换得到的频谱图看作图像的梯度分布图（两幅图像中的点并不是一一对应），频谱图中的某一个点所表征的是空间域中某一个点与周围点的灰度差异性，灰度差异越大，则频率越大。当然时域中灰度变化剧烈的区域也包含了低频信号，因为低频信号是构成图像信息的基础。
7. 傅里叶变换在数学中的应用
t的傅里叶变换为(i/2pi)&(f) 1/t傅里叶变换为 -i*pi*sgn(f) 其中pi为3.1415926 &(f)为狄拉克函数 sgn（f）为符号函数 i的平方等于1。
sintcost=1/2sin2tF(1/2sin2t)=∫(-∞，+∞) 1/2sin2t · e^-jwt dt用欧拉公式可得原式=1/2∫(-∞，+∞) j/2( e^-2jt - e^2jt )e^-jwt dt=j/4∫(-∞，+∞) e^-j(w+2)t - e^-j(w-2)t dt用δ函数的傅氏变换 得原式=j/2 π[δ(w+2)-δ(w-2)]欧拉公式: sin2t=j/2 (e^-2jt - e^2jt)δ函数的傅氏变换:F(e^jw。t)=∫(-∞，+∞) e^j(w。-w)t dt =2πδ(w。-w)。
8. 傅里叶变换适用条件
傅立叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅立叶变换和离散傅立叶变换。最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。
（1）基本性质——线性性质线性linear，指量与量之间按比例、成直线的关系，在数学上可以理解为一阶导数为常数的函数；非线性non-linear则指不按比例、不成直线的关系，一阶导数不为常数；两函数之和的傅里叶变换等于各自变换之和。数学描述是：若函数f(x）和g(x）的傅里叶变换mathcal[f]和mathcal[g]都存在，α 和 β 为任意常系数，则mathcal[αf+βg]=α，mathcal[f]+βmathcal[g]；傅里叶变换算符mathcal可经归一化成为么正算符；
（2）频移性质若函数f( x ）存在傅里叶变换，则对任意实数ω0，函数f(x) e^{i ωx}也存在傅里叶变换，且有mathcal[f(x)e^{i ωx}]=F(ω+ ω0 ）。式中花体 mathcal是傅里叶变换的作用算子，平体F表示变换的结果（复函数），e 为自然对数的底，i 为虚数单位 sqrt。
9. 傅里叶变换的实际应用
1. 傅里叶变换是线性算子,若赋予适当的范数,它还是酉算子;2. 傅里叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似;3. 正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解，在线性时复杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段;4. 离散形式的傅里叶的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取;
10. 傅里叶变换性质应用
傅里叶变换（Fourier transformation）具有的性质： （1）线性性质：函数线性组合的傅里叶变换=各函数傅里叶变换的线性组合
（2）位移性质（shift信号偏移，时移性）：
如：
f（t-t0）表示时间函数f（t）沿t轴向右平移t0，其傅里叶变换=f（t）的傅里叶变换乘以因子exp（-iwt0），类似f（t+t0）的傅里叶变换=f（t）的傅里叶变换乘以因子exp（iwt0）
而F（w-w0）的表示频谱函数沿w轴向右平移w0，其傅里叶逆变换=F（w）的傅里叶逆变换乘以因子exp（iw0t），反之乘以exp（-iw0t）
（3）微分性质：一个函数导数的傅里叶变换等于这个函数傅里叶变换乘以因子iw
（4）积分性质：一个函数积分后的傅里叶变换等于这个函数傅里叶变换除以因子iw
利用傅氏变换的这四条性质，可以将线性常系数微分方程转化成为代数方程，通过求解代数方程和求傅氏逆变换，可得到微 分方程的解。
